1. 概率论教你说谎
贝叶斯定理
直观意义：当你获知了一个新的信息后，你对原事件的看法所做的改变
贝叶斯应用
- P(A) : M同学在外通宵修炼概率
- P(B) : M同学手中有电影票概率
- P(A|B) : 当M同学手中的电影票被发现后，他在外通宵概率
- P(B|A) : 若昨晚M在外通宵，他手中有电影票概率
若要降低P(A|B)的概率
- 增加P(B) : 养成保存电影票习惯
- 减小P(A) : 少在外通宵修炼
- 减小P(B|A) : 不轻易拿出电影票据
2. 找东西背后的概率问题
8个抽屉，文件随机放入某个抽屉。1/5 概率文件未放进抽屉，文件搞丢了。求打开前n个抽屉，没找到文件的情况下，文件在剩余抽屉的概率。
直观感觉：n越大，文件在剩余抽屉的概率越高
事实：n越大，文件在剩余抽屉的概率越低
解法1
- 8个抽屉， 1/5 概率搞丢。可假设另有两个虚拟抽屉，存放搞丢的文件。
- 找n个抽屉未找到，则文件在剩下的 （10 - n）个抽屉中
- 只能打开剩下的 （8 - n）个抽屉，因此所求概率为
即
是一个递减函数：n越大，文件在剩余抽屉概率越低
解法2
- P(A) : 文件不在前n个抽屉中
- P(B) : 文件在剩下的抽屉中
- 显然P(A|B) = 1
- 根据贝叶斯定理，则
3. 设计调查问卷的艺术
极度隐私问题，用户未必如实回答
针对只有是否两个选项的隐私题目（特定题目，非全部题目）可以如下设计：
- 问卷上准备一枚硬币（同时作为填写问卷酬谢）
- 隐私题目，请投硬币。正面朝上，填写真实情况；反面朝上，在投掷一次，正面选是，反面选否
- 若第一次为正面，用户扔可以在投掷一次，可掩人耳目
- 通过概率学，可计算出真正意愿选“是”概率，和选“否”概率
4. 统计数据的陷阱
虚假独立性数据
统计数据显示，铀矿工人寿命与其他人相当，甚至更长
由此，推论出 铀矿工作对身体无害
统计数据本身并未说谎，铀矿工人寿命不必普通人底；难就难在如何拨开数据的外表，从中挖掘出正确的信息。
事实上，只有身体强健的人才回去铀矿工作，他们的寿命本来就长一些，因为去铀矿工作，寿命被拉回至平均水平，造成数据“伪独立性”。
这种现象称为“健康工人效应”
类似现象：打太极和不打太极寿命相同。 打太极的人多体弱
虚假相关性数据
去救火的消防员越多，火灾损失越大
因为火灾大，所以救火消防员多。颠倒了因果关系
事实上，统计上呈相关性的时间，有可能根本就没有因果关系
冰淇淋销量增加，与鲨鱼食人时间增加，呈相关性
两者并无因果关系。都是因为夏天到了，导致的现象
辛普森悖论
各个局部表现很好，合起来反而更差
A学校，B学校
A学校的各个学院 的女生比例 都高于 B学校
统计整个学校，B学校女生比例高于A学校
原因是因为，两个学校的不同学院之间，人数不同
5. 为什么人们往往不愿意承担风险
经济学：收入本身并不重要，收入带来的好处，或者幸福感，满足感
收入的边际效用是递减的。（收入每增加一个单位，带来的额外效用减小）
若一个人认为收入的边际效用是递减的，则这个人是一个风险规避者。对于期望收入相同的两件事，他更愿意做封校更小的一件。
风险规避者甚至有可能通过减少自己的收入来避免可能的风险
6.消费税
曼昆 《经济学原理》 — 经济学领域最经典教材之一
政府向消费者征税，买方消费欲望降低，购买力下降，导致卖方的供给也会变低，达到新的平衡。因此，消费税是由消费者和卖家共同承担的。
政府向卖家征税也是同样道理。
奢侈品
买奢侈品的都是富人，因此向消费者征税
奢侈品非生活必须品，价格升高，大量消费者退出市场
奢侈品供给曲线非常陡，即使价格变化很大，产量仍然变化不大，因为制造奢侈品需要很多时间，人力。生产商无法快速应对市场需求变化。
虽然向买方征税，税多数由生产者承担。与政府决策适得其反
向消费者征税，与向生产者征税的效果完全一样。（最终，生产者承担税费，与消费者承担税费都相同）（供需曲线都是直线时，可以从数学上证明此结论）
7. 价格里的阴谋
价格歧视
为不同消费者制定不同价格的策略
对于一个恶汉来说，第一个烧饼的价值显然比第七个烧饼的价值更高。
同样，工资提高事，针对等额的提升度，工资低的所带来的价值更高
同等金额，对于穷人和富人的价值不同。
二级价格歧视
让高端消费者自动选择高价位商品的定价策略
想办法拉大高端套餐和低端套餐的差距，可以向高端用户收取更高的费用。
一个有趣的现象：让低端产品更低端，反而会增大生产商的收益。
二级价格歧视理论 产生的奇怪现象：
快递：次日达，隔日达，普通到达。同一天寄出的商品，也都是同一天到达，隔日达的商品会在仓库中存一天（为了区分不同档次的产品，商家有意设置低端消费品）
IBM曾研发让打印机慢速打印的设备
飞机，头等舱，经济舱都是同样的原理
三级价格歧视
直接给商品提供不同的价格。
明显三级价格歧视：
- 学生证半价；
- 同一商品，不同省份价格不同；
- 高速公路对不同车型收费不同等。
隐蔽的三级价格歧视：
- 狡诈的电商网站，点击“从高到低排序”，会给出更高的价格；
- 优惠券；30%的人会保留使用，70%弄丢或过期。区分了不同用户，相当于为对价格比较敏感的低端用户提供了优惠
- 邮寄回扣，吧收据，反馈卡，回扣申请表等寄回厂家。国外电子产品较常见
游乐园，火车票，电影票不大能分出消费者等级。因此二级价格歧视无效，多使用三级价格歧视
两部分定价
入场费 + 消费的费用
游乐场，酒吧常用此方式。会员入会费，信用卡年费，手机月租费等
捆绑销售
不一定总是适用。
适用场景；不同买家对捆绑的商品具有不同的偏好
word，excel，ppt捆绑销售
维基百科上“pricing strategies”, 共有20多种定价策略
link : https://en.wikipedia.org/wiki/Pricing_strategies
终极目的都是一致的：尽可能从消费者身上赚取更多利润
8.公用品的悲剧
类似于囚徒困境的原理
对单个用户来讲，做比不做带来更大收益，都选择做
- 挤公交：对等公交的人，能挤上比挤不上收益更大
- 企业污染环境：排放污水降低开销，污染环境的代价由全体承担，均摊到自己很少，所以要污染环境
- 车祸越离奇，堵车越严重，即使车祸没挡住路。司机会观看车祸，甚至拍照等，对车祸现场的司机来说，观看车祸的收益，比自己登上一分钟收益更大，导致后面的车辆都要多等一分钟
10.公平分割
均衡分割
两个人分：你来分，我来选。（分的人，收益是一半，选的人收益可能超过一半）
多个人分，假设4个人。分割过程：
- 选两人，你来分，我来选（共两份）
- 让这两个人把各自手中的蛋糕分成3份（共2*3=6份），让第3个人从2人中各选一份
- 这3个人把各自手中蛋糕分成4份（共3*4份），让第4个人从3人手中各选1份
- 分割结束，每个人得到自己手中的蛋糕份额
最后削减人算法：
- 第1个人，从蛋糕中切出他所认为的1/n, 交给第2个人。
- 第2个人也可从中切出一小块，交给第3个人，
- 依次类推，每个人拿到蛋糕后都有一次修剪机会，然后移交给下一个人，最后一个修剪蛋糕的人将获得这块蛋糕
- 余下的n-1个人从头开始重复这个过程
免嫉妒分割
免嫉妒分割比均衡分割更强的要求。免嫉妒分割一定也满足均衡分割。
蛋糕上有说过，巧克力，奶油等，每个人认为的价值不一样，有人爱吃水果，有人爱吃巧克力。构造出免嫉妒的分割方案非常困难。
3人免嫉妒分割方案：
- A,B,C 3人，A把蛋糕3等分（按价值等分，当然是按照A的价值标准分割）
- B若认为3块中，较大的两块一样大，则按照C,B,A的顺序选蛋糕，问题解决；B若认为较大的两块不一样大，则B把较大一块切下一部分，使其跟第二大的蛋糕一样大，按照C,B,A顺序选取，但有个限制，若C没选被修剪的蛋糕，B必须选它。
- 此时，每人都分得一份蛋糕。被修剪蛋糕在B或C手中。C第一个选，不会妒忌别人；B选取了两个较大块中的一个，也不会妒忌别人，A是分蛋糕的，也不会妒忌别人。
- 还剩一小块，进入分割流程第二轮
- 被修剪蛋糕在B或C手中。X表示拿到修剪蛋糕的人，B,C中未拿到修剪蛋糕的用Y表示，A还用A表示。
- Y切分，X，A，Y的顺序取。第二轮结束。
- X第一个取，不会妒忌别人；A在第一轮已经拿到了足够的价值，即使不参与第二轮，也不会妒忌别人；Y是分蛋糕的，也不会妒忌别人。
- 分割结束，所有人都不会妒忌别人
以上方法，只适合3个人的情况，对于人数更多的情况，数学家还没有找到一个比较可行的方案
数学之美
幻方
| 8 | 1 | 6 |
|---|---|---|
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
$$816^2 + 357^2 + 492^2 = 618^2 + 753^2 + 294^2$$
所有幻方均满足上述性质
欧拉恒等式
$$e^{\pi i} + 1 = 0$$
三角形一共发现有5000多个心，目前数目还在不断增加
任意给定两个面积相等的多边形，它们之间都可以通过剪拼得到
俄罗斯方块可以永远玩下去吗？ —- 不能