总结
| 数学危机 | 产生原因 | 解决方式 | 带来的成果 |
|---|---|---|---|
| 第一次数学危机 | 毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原,其理解的数主要是整数及整数之比,但希伯斯发现等腰直角三角形斜边长度(根号2)为无理数,不能用整数或整数之比表示 | 无 (这一危机的出现使人们认识到了无理数的存在) | 让人们意识到数学世界充满未知和可能性,推动数学从直观经验主义向严谨逻辑推理转变 |
| 第二次数学危机 | 牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论建立在无穷小分析基础上,但对无穷小量概念理解混乱,英国大主教贝克莱对其合理性提出严重质疑 | 柯西运用极限方法对无穷小量精确定义 | 挽救了微积分理论,完善并发展了微积分,推动数学分析领域发展,使数学在科学探索中的应用更广泛深入 |
| 第三次数学危机 | 康托尔集合论虽成为现代数学基石,但罗素提出罗素悖论,S由一切不是自身元素的集合所组成,S是否包含S这一问题揭示集合论根本性问题 | 数学家们通过对集合定义加以限制建立新原则排除悖论,如策梅罗提出ZF系统,诺伊曼等人提出NBG系统等公理化集合系统 | 直觉主义和形式主义)形成,各派工作促进数学大发展 |
第一次数学危机
毕达哥拉斯
在公元前五世纪的古希腊，毕达哥拉斯以其卓越的数学与哲学成就而著称。他不仅是一位杰出的学者，更是毕达哥拉斯学派的创始人。这一学派融合了政治、学术与宗教元素，形成了一种独特的神秘主义氛围。毕达哥拉斯提出的“万物皆数”的命题，深刻地影响了该学派的思想体系，他们坚信宇宙间的一切都可以用数来解释和表示。在他们看来，数不仅是数学的基础，更是宇宙间秩序与和谐的体现。然而，这一信仰却在后来遭遇了前所未有的挑战。
毕达哥拉斯学派所理解的数，主要是指整数以及整数之比。他们深信，任何复杂的数学问题都可以通过整数的运算来解决，这种观念在当时被广泛接受并传承。然而，正是这一坚定的数学信仰，为后来的数学危机埋下了伏笔。
具有戏剧性的是，毕达哥拉斯本人所发现的毕达哥拉斯定理，即勾股定理，却成为了这一信仰的终结者。当学派成员发现，一个简单的等腰直角三角形的斜边长度（根号2）无法用整数或整数之比来表示时，整个学派陷入了巨大的恐慌。这一发现不仅动摇了他们的数学信仰，更对当时所有古希腊人的观念造成了极大的冲击。
希伯斯
在这个数学信仰遭遇危机的时刻，希伯斯（Hippasu）的出现无疑加剧了这场动荡。希伯斯是米太旁登地方的人，生活在公元前5世纪，他通过严谨的数学推导，发现了一个令人震惊的事实：一个腰为1的等腰直角三角形的斜边长度（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示。根号2成为了第一个被证明为无理数的数，这一发现揭示了无理数的存在，也暴露了毕达哥拉斯学派理论的局限性。
相传，当时毕达哥拉斯派的人正在海上航行，得知希伯斯的这一发现后，他们愤怒至极，竟然将希伯斯抛入大海，以此来维护他们曾经的信仰。然而，历史的车轮滚滚向前，希伯斯的发现已经无法被掩盖。这一伟大发现不仅是对毕达哥拉斯学派的致命打击，更是对当时所有古希腊人观念的一次彻底颠覆。这一发现让人们意识到，数学的世界并非完全有序和可预测，而是充满了未知和可能性。这一事件也标志着数学从直观和经验主义向严谨和逻辑推理的转变，为后来的数学发展奠定了重要基础。
从此，人们开始重新审视数学的本质，认识到了无理数的存在与重要性，这一事件也被称为第一次数学危机。
第二次数学危机
出现
第二次数学危机的爆发，其根源在于微积分工具的广泛使用。在十七世纪，随着人们对科学理论与实践认识的不断提升，微积分这一极具威力的数学工具几乎在同一时期被牛顿和莱布尼兹共同发现。微积分的出现，犹如一把锋利的宝剑，使得许多原本复杂难解的数学问题迎刃而解。然而，无论是牛顿还是莱布尼兹所创立的微积分理论，在严谨性上都存在明显的不足。他们的理论都是建立在无穷小分析的基础之上，但对于无穷小量这一基本概念的理解和运用却显得相当混乱。这种混乱引发了数学界的广泛争议，甚至有人开始质疑微积分的合理性，认为它可能会颠覆整个数学的基础。其中，英国大主教贝克莱的攻击最为猛烈，他对积分的合理性提出了严重的质疑，使得微积分理论一度面临被推翻的危险。
解决 - 柯西
在这个关键时刻，柯西这位微积分理论的收官人出现了。他运用极限的方法，对无穷小量进行了精确的定义，从而解决了微积分理论中的基础问题。柯西的定义不仅使得无穷小量的概念变得清晰明确，而且为微积分理论的进一步发展奠定了坚实的基础。在他的努力下，微积分理论得到了完善和发展，数学大厦也因此变得更加辉煌美丽。柯西的工作不仅挽救了微积分理论，更推动了数学分析领域的发展，使得数学在科学探索中的应用更加广泛和深入。
第三次数学危机
出现
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。这一理论在刚诞生时，因其对传统数学观念的巨大冲击，曾遭到许多数学家的猛烈攻击。然而，随着时间的推移，集合论的开创性成果逐渐被广大数学家所接受，并且获得了广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发，可以建立起整个数学大厦。因此，集合论迅速成为现代数学的基石。1900年，在巴黎召开的国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
然而，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素悖论的核心在于一个看似简单却极具破坏性的问题：S由一切不是自身元素的集合所组成，那么S是否包含S？用更通俗的话来说，这就像是一个人说：“我正在撒谎！”那么这个人到底是在撒谎还是在说实话？罗素悖论的可怕之处在于，它不像其他复杂的悖论那样涉及高深的集合知识，而是非常简单，却能够轻松摧毁集合理论的基础。
罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？这个问题看似简单，却揭示了集合论中的一个根本性问题。罗素悖论的出现，使得数学家们不得不重新审视集合论的基础，寻找解决这一悖论的方法。
解决排除悖论
危机产生后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出了第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。
公理化集合系统
成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。然而，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。例如，围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派：逻辑主义、直觉主义和形式主义，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。